Замечательные кривые — страница 2

  • Просмотров 4361
  • Скачиваний 505
  • Размер файла 376
    Кб

XVIII веке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y=ax, где a – какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять a равным так называемому неперову числу, обозначаемому буквой e. Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито,

как и число p; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005:e»2,718. На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=ex, а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей. Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e-x. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает

рисунок. Образуем теперь две новые функции, беря для каждого x либо полусумму значений наших показательных функций – получим y=1/2 (y=ex+e-x), либо их полуразность: y=1/2 (y=ex-e-x). Графики этих новых функций приведены на рис. 3 и рис. 4. Оказывается, что первый из них это и есть одна из цепных линий. Из него путем простых преобразований, о которых пойдет речь ниже, можно получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат. Что

касается графика, представленного на рис. 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходе от цепной линии рис. 3 к более общему случаю цепной линии. Подбор длины цепочки. Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки. Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки

кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках A и B на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B. Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться. Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее –

с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B, по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2l. Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l=1/2(ed-e-d). Отсюда