Вывод уравнения Шрёдингера — страница 7

же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособ­лены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, что­бы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерфе­ренцией и дифракцией волн вещества. При отыскании уравнения

Шрёдингера заметим, что од­ним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна. Дифференцирование (1) по x, y, z даст: Сложением полученных вторых производных найдем: Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем: (6) Это дифференциальное уравнение, но не то, которое

мы ищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом. Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω: Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать: (7) Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию,

а из (6) – квадрат импульса p2: (7*) Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил, E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению (8) Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей. Обобщим теперь полученное уравнение (8)

на случай движений в си­ловых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуют­ся потенциальной функцией или потенциальной энергией U(). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют и величины и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой ча­сти уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что

полученное таким путем уравнение (9) будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера. Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, ко­нечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип.