Вынужденные колебания

  • Просмотров 2344
  • Скачиваний 292
  • Размер файла 123
    Кб

Реферат На тему «Вынужденные колебания» Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Вначале рассмотрим затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.

Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости. . (1.1) Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F и скорость v направлены в про­тивоположные стороны. Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид (1.2) Применим следующие обозначения (1.3) Тогда (1.4) Где ω0 — собственная частота коле­бательной системы. Будем

искать решение уравнения в виде (1.5) Найдём первую и вторую производные Подставим выражения в уравнение (1.5) Сократим на (1.6) Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b<ω0 — тре­ние мало). Введя обозначение придем к уравнению Решением этого уравнения будет функция Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем Здесь A0 и α — постоянные,

значения которых зави­сят от начальных условий, ω — величина, определяе­мая формулой Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной , которую называют коэффи­циентом затухания. Для характеристики колебательной системы употребляется также величина называемая добротностью колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в

e раз. Вынужденные колебания. Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону: (2.1) В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид: (2.2) Здесь b — коэффициент затухания, ω0 — собственная частота колебательной системы, ω — частота выну­ждающей силы. Дифференциальное