Вычисление случайных величин

  • Просмотров 692
  • Скачиваний 20
  • Размер файла 195
    Кб

Задача №1. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC: где S – площадь треугольника ABC. Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми? Решение. Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия или следует, что Тогда

плотность двумерной случайной величины (X,Y): Вычислим плотность составляющей X: при , откуда плотность составляющей X – Вычислим плотность составляющей Y: при , при , Поэтому плотность составляющей Y – Найдем условную плотность составляющей X: при , случайные величины X и Y зависимы. Найдем математическое ожидание случайной величины X: Найдем дисперсию случайной величины X: Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины

X: Найдем математическое ожидание случайной величины Y: Найдем дисперсию случайной величины Y: Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y: Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y): Тогда ковариация: , а значит и коэффициент корреляции Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные. Задача №2 Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение

вероятностей: Y X 3 6 8 9 -0,2 0,035 0,029 0,048 0,049 0,1 0,083 0,107 0,093 0,106 0,3 0,095 0,118 0,129 0,108 Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y. Решение. Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X: X 3 6 8 9 0,213 0,254 0,270 0,263 Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1. Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y: Y -0,2 0,1 0,3 0,161 0,389 0,450 Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1. Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y. 1.

Математическое ожидание случайной величины X: 2. Математическое ожидание случайной величины Y: 3. Дисперсия случайной величины X: 4. Дисперсия случайной величины Y: 5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X: 6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y: Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X): X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X) 0,213 0,254 0,270 0,263 Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y): Y-M(Y)