Введение в математический анализ — страница 4

  • Просмотров 1153
  • Скачиваний 30
  • Размер файла 295
    Кб

этого строим график функции путём сдвига вправо и, наконец, искомый график функции y = 2 sin (2x – 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3). Рис.3 ПРЕДЕЛЫ Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что при n > N. . где M – произвольное положительное число . В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой

величиной при x → a. величиной при x → a. Если x < a и x → a, то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a, то пишут x → a + 0. делом функции f(x) в точке a. Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах. 4) 5) при () Используются также первый и второй замечательные пределы: 1) 2) Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln x. При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Пример 9. Показать, что при n→∞ последовательность имеет пределом число 2. Решение. Здесь n–й член последовательности. Следовательно,. Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь. Следовательно,. Пример 10. Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5, 13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.

Решение. Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/. Определим, при каком значении n выполняется неравенство 5/; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2. Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13). Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125). Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250). Пример 11. Решение. Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу 5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.

Пример 12. Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида . Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем Пример 13. Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида. Пример 14. Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Пример 15. Решение.

Имеем Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и Пример 16. Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму : Пример 17. Решение. Положим, тогда Пример 18. Решение. Имеем Пример 19. Решение. Имеем Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв Пример 20. Решение. Разделим