Введение в математический анализ — страница 3

  • Просмотров 1154
  • Скачиваний 30
  • Размер файла 295
    Кб

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x), где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Например, y = ׀x׀ =;;. Пример 1. Найти, если. Решение. Найдём значения данной функции при x = a и x = b: ,. Тогда получим Пример 2. Определить, какая из данных функций

чётная или нечётная: а) б); в); г). Решение. а) Так как, то т.е. f(– x) = – f(x). Следовательно, функция нечётная. б) Имеем, т.е. f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная. в) Здесь,т.е. f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная. г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной. Пример 3. Найти область определения функции. Решение. Функция определена, если 2x – 1 ≠ 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является

совокупность двух интервалов: Пример 4. Найти область определения функции. Решение. Функция определена, если x – 1 ≠ 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ≠ 1 и x > – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞). Пример 5. Найти область определения функции Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 –2x ≥ 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции

необходимо решить систему неравенств: Получаем Следовательно, областью определения будет сегмент . ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ При построении графиков функций применяются следующие приёмы: а) построение «по точкам»; б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков); в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение). Исходя из графика функции y = f(x), можно построить графики функций: 1) y = f(x – a) – первоначальный график,

сдвинутый вдоль оси Оx на величину a; 2) y = f(x) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b; 3) y = A · f(x) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy; 4) y = f(kx) – тот же график, сжатый в k раз вдоль оси Ox. Таким образом, можно по графику функции y = f(x) построить график функции вида. Рис. 1 Пример 6. Построить график функции y = 2x + 1 + cos x. Решение. График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y = 2x + 1, y = cos x.

График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1). Пример 7. Построить график функции Решение. При x < 3 графиком является луч прямой, а при x ≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2. Рис. 2 Пример 8. Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или Решение. Здесь Исходный график y = sin x. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После