Введение в математический анализ — страница 2

  • Просмотров 1152
  • Скачиваний 30
  • Размер файла 295
    Кб

существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию: – M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x׀ ≤ M. Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y. Переменная x называется в

этом случае аргументом, или независимой переменной, а множество X – областью определения функции. Запись y = f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a). Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток) (a, b), т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a < x < b; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток), т.е. совокупность

значений x, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b; полуинтервал (т.е. a < x ≤ b) или (т.е. a ≤ x < b); бесконечный интервал (a, + ∞) (т.е. a < x < + ∞) или (– ∞, b) (т.е. – ∞ < x < b) или (– ∞, + ∞) (т.е. – ∞ < x < + ∞); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x). Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x.

График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения x. График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат. Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство. Наименьшим же периодом функции называется наименьшее

положительное число τ, для которого f(x + τ) = f(x) при любом x. Следует иметь в виду, что f(x + kτ) = f(x), где k – любое целое число. Функции задаются: аналитически (в виде формулы), например,;графически (в виде графика);таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов. Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции: Степенная функция:, где α – действительное число.Показательная функция:, где a > 0, a ≠

1.Логарифмическая функция:, где a > 0, a ≠ 1.Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x. Если y является функцией от u, а u есть функция от x, то y также зависит от x. Пусть y = F(u), u = φ(x). Тогда y = F(φ(x)). Последняя функция называется функцией от функции, или сложной функцией. Например, y = sin u, u =. Функция y = sin () есть сложная функция от x.