Великие законы сохранения — страница 2

  • Просмотров 3884
  • Скачиваний 329
  • Размер файла 164
    Кб

зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно делать ряд важных заключений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через Fik силу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс - номер

частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом Fi обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц: 12 + F13 + ... + F1k + ... + F1N + F1= 21 + F23 + ... + F2k + ... + F2N + F2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN = (pi – импульс i-й частицы). Сложим вместе эти уравнения. Слева получиться производная

по времени от суммарного импульса системы: . Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил Fi. Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде (F12+F21) + (F13 + F31) + ... + (Fik + Fki) + ... + (FN-1,N + FN,N-1). Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равно нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю: . С учетом этого получим, что . (1) Таким образом, производная по времени от

суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы. Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть уравнения (1) равна нулю. Соответственно dp/dt=0 и, следовательно, p=const. Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса. В основе закона сохранения импульса лежит

однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте. Заметим, что согласно формуле (1) импульс остается постоянным и у незамкнутой системы в том случае,

если сумма всех внешних сил равна нулю. Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (1), на некоторое направление x, получим (2) (; отсюда следует, что проекция на ось x вектора p равна dpx/dt). Согласно (2) для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля. Точка С, положение которой