Векторная алгебра

  • Просмотров 4410
  • Скачиваний 547
  • Размер файла 16
    Кб

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: a+b=b+a (коммутативность) (а+b)*с=а*(b+с)

(ассоциативность) a + 0=a (наличие нулевого элемента ) a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента), где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0.

Операция умножения вектора на число обладает свойствами: l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов) (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность) 1*a=a (умножение на единицу) Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет

понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: aa+bb+…gc=0. (1) Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно

зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов. Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде