Вариации при исчислении — страница 2

  • Просмотров 3612
  • Скачиваний 27
  • Размер файла 276
    Кб

точка достигает точки В. Интегрируя, находим (1.1) Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию u(0) = 0; u(а) = b (1.2) и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая

функция. Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах. Задача о наибольшей площади Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.

Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям u(а) = u(b) = 0 (1.3) и тождеству (1.4) и сообщающую интегралу (1.5) наибольшее значение. Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу. Приведенные здесь задачи относятся к ветви

математического анализа, называемой вариационным исчислением. 1.3 Постановка задачи вариационного исчисления Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение , (1.6) либо максимальное значение . (1.7) Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала – J, поэтому в дальнейшем

будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J. В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения. Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементов пространства Х и ū – некоторый

фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде u = ū + η, ηєМ. (1.8) Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М. Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие. Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также