Тезис Геделя. Теорема Черча — страница 5

  • Просмотров 3239
  • Скачиваний 332
  • Размер файла 4
    Кб

операций умножения и сложения, отношения < и функции S(x)) оказывается достаточно мощным для наших целей. В-третьих, система T должна быть в некотором техническом смысле "легко описываемой" — в ней должно быть либо конечное количество аксиом, либо бесконечное, но описываемое с помощью какого-то заранее известного алгоритма. Любую формальную систему, отвечающую этим трём условиям, назовём подходящей (это не стандартная

терминология, просто для удобства только в этой записи). С точки зрения формальных доказательств система T не имеет "семантики", иными словами, смысл используемых в ней символов нам безразличен. Формальное доказательство есть всего лишь некоторая длинная цепочка строк, в которой каждая строка есть аксиома T, общелогическая аксиома, или получена из предыдущих строк применением одного из разрешённых правил перехода. Мы

обозначили, скажем, одну из операций языка арифметики символом *, потому что она соответствует нашему пониманию умножения; но с точки зрения формальной системы T * — всего лишь символ, который ничего не означает. Вместо него мог быть любой другой символ, скажем, %, и все доказательства оставались бы в силе; просто если бы мы захотели определить смысл аксиом или доказываемых нами теорем, нам пришлось бы понимать % как

"умножение". Сказать, что какое-то утверждение доказуемо в T — значит сказать, что есть некоторое формальное доказательство, которое к нему приводит. Доказуемость — синтаксическое свойство, а не семантическое. С другой стороны, сказать, что какое-то утверждение истинно — значит, сказать, что если мы интерпретируем его согласно обычной интерпретации символов T (т.е. * будем понимать как "умножение", символ 0 — как число 0,

итп.), то получаем истинное утверждение о натуральных числах. Доказуемость необязательно влечёт истинность. Предположим для простоты, что для каждого натурального числа n в нашем языке есть константа n, позволяющая "говорить" о числе n в формулах нашего языка (на практике мы можем "симулировать" такие константы, не объявляя их, с помощью цепочки терминов: 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))) итп.). Теперь возьмём формальную систему T, в

которой есть следующая аксиома: 2+2=5. Тогда утверждение "2+2=5" доказуемо в системе T (т.к. оно даже является аксиомой), но, естественно, ложно (является ложным утверждением о натуральных числах). Есть формальные системы, которые доказывают только истинные утверждения. Таковы системы, в которых все аксиомы — истинные утверждения (можно доказать, что тогда все правила перехода между аксиомами сохраняют истинность). Такие