Тезис Геделя. Теорема Черча — страница 3

  • Просмотров 3089
  • Скачиваний 331
  • Размер файла 4
    Кб

Аксиоматические теории делятся на формальные и неформальные. Неформальные аксиоматические теории наполнены теоретико – множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной степени опирается на здравый смысл. Формальная аксиоматическая теория считается определенной, если выполнены следующие условия: 1.       задан язык теории; 2.       определено понятие

формулы в этой теории; 3.       выделено множество аксиом теории; 4.       определены правила вывода в этой теории. Среди математических теорий выделяются теории первого порядка. Эти теории не допускают в своем изложении предикаты, которые имеют в качестве аргументов другие предикаты и функции. Кроме того, не допускаются кванторные операции по предикатам и функциям. Теории первого порядка называются

еще элементарными теориями. 1). Язык теории первого порядка. Рассмотрим некоторый алфавит теории Множество слов этого алфавита называется множеством выражений теории Пару и множества выражений, называют языком теории. В алфавит всякой теории первого порядка входят: 1)       символы логических операций 2)       символы кванторных операций 3)       вспомогательные символы – скобки и

запятые; 4)       конечное или счетное множество 5)       конечное или счетное множество функциональных букв; 6)       конечное или счетное множество предметных констант. В частности под функциональной буквой может пониматься цепочка логических операций. Множество предикатных букв вместе с множеством функциональных букв и констант называется сигнатурой языка данной теории. Различные

теории первого порядка могут отличаться друг от друга по составу букв в алфавите. Термы и формулы. В любой теории важное значение имеет определение терма и формулы. Фактически это два класса слов множества. Термом называется: а). предметная переменная и переменная константа; Таким образом, кроме предметных переменных и констант термами являются цепочки, образованные из предметных переменных и констант посредством символов

операций. Примеры теорий первого порядка. 1). Геометрия (теория равенства отрезков). Логические аксиомы этой теории те же пять, что упомянутые выше. Первичные термины - множество всех отрезков и = - отношение равенства. 2). Аксиоматическая теория натуральных чисел. Аксиоматическое построение арифметики натуральных чисел связано с именами Пеано и Дедекинда. Язык теории содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства,