Теплопроводность через сферическую оболочку — страница 5

  • Просмотров 4365
  • Скачиваний 412
  • Размер файла 45
    Кб

прошедший сквозь произвольную поверхность S, находят из выражения (2.12) Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t, определяется интегралом (2.13) Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу

аналитической теории теплопроводности. 2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает

протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин,

характеризующих процесс. При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: ·     ·     ·     dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в

направлении осей за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты: (2.14) (grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени). Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения: (2.15) где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z. x y z dx dy dz dQx dQy

dQz Рисунок 2.2 Последнее уравнение можно представить в другом виде: (2.16) Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно: (2.17) Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением: (2.18) а в направлении оси x: (2.19) Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде: (2.20) С другой стороны, согласно закону