Теория вероятности решение задач по теории вероятности

  • Просмотров 16295
  • Скачиваний 843
  • Размер файла 571
    Кб

Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1.1 Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие. Теорема

о перемножении шансов Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит ni элементов, 1<=i<=k. Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется Замечание 1. В теореме 1 считается, что даже если все элементы в i-й группе неразличимы, выбрать один из них можно ni способами. Замечание 2. Результат выбора, описанного в теореме 1, представим в виде

набора (а1, а 2,…, а k) в котором аi — выбранный из i-й группы элемент. Тогда общее число различных наборов (а1, а 2,…, а k) также равняется Доказательство теоремы 1. i -ой группы числами от 1 до ni. Элемент из первой группы можно выбрать n1 способами. Если мы выбрали элемент j, 1<=i<= n1, то выбрать элемент из второй группы мы можем n2 способами. Получаем, что с первым элементом j возможно составить n2 пар (j, l), где 1<=l<= n2. Но столько же пар можно

составить и с любым другим элементом первой группы. Тогда всего пар, в которых первый элемент выбран из первой группы, а второй — из второй, существует ровно Иначе говоря, есть способов выбрать по одному элементу из первых двух групп. Возьмем одну такую пару (j, l). Заметим, что элемент из третьей группы можно выбрать n3 способами, то есть возможно составить ровно n3 троек (j, l, m), добавляя к данной паре (j, l) любой из n3 элементов третьей

группы. Но столько же троек можно составить и с любой другой парой (j, l). Тогда всего троек, в которых первый элемент выбран из первой группы, второй — из второй, а третий — из третьей, существует ровно Продолжая рассуждения, методом математической индукции заключаем справедливость утверждения теоремы. Урны и шарики Есть урна, (то есть ящик), содержащая n занумерованных объектов, которые мы без ограничения общности будем считать