Теория массового обслуживания с ожиданием — страница 7

  • Просмотров 3598
  • Скачиваний 256
  • Размер файла 48
    Кб

совместного появления этих двух событий равна Вероятность того, что будет задержано два самолета, находится аналогично (рассматривается два задерживаемых самолета между двумя незадерживаемыми) путем вычисления вероятности совместного появления событий: t1 < T - для первого задерживаемого самолета, следующего за незадерживаемым; t2 < 2T- t1 - для второго задерживаемого самолета, следующего за первым задерживаемым; t < 3T- t1 - t2 -

для незадерживаемого самолета, следующего непосредственно за двумя задерживаемыми. В результате для двух задерживаемых самолетов получаем (14.55) Общее выражение для вероятности того, что задерживается n-1 самолетов, имеет вид an Tn-1 e-nT , где an- коэффициент, зависящий только от n. Очевидно, что должно выполняться соотношение (14.56) или (14.57) где величина UºTe-T для малых T определяется однозначно, следовательно, T можно выразить как

функцию от U: (14.58) Используя то обстоятельство, что начало координат - кратный полюс, имеем (14.59) Следовательно, разложив подынтегральное выражение в ряд и выбрав коэффициент при T-1 , можно найти вычет. Вероятность того, что один за другим задерживаются n-1 самолетов, равна (14.60) Используя формулу Стирлинга для n!, Пирси приводит ряд кривых для этого распределения. Среднее число самолетов, находящихся в системе (с учетом первого

самолета, совершающего посадку без ожидания), равно (14.61) Это выражение можно легко найти, дифференцируя выражение (14.56) по T и производя упрощения. (Заметим, что при T=1 задерживаются все самолеты). Аналогично находим второй начальный момент, он равен Доля задерживаемых самолетов определяется как отношение среднего числа самолетов, находящихся в системе, без учета самолета, совершающего посадку, к среднему числу самолетов:

Распределение длительности посадки найдем путем следующих рассуждений. Все промежутки времени длительностью t<T имеют нулевую частоту; промежутки времени длительностью t=T появляются с частотой t; доля задерживаемых самолетов, т.е. доля промежутков времени длительностью t>T, появляется с частотой 1-T появления незадерживаемых самолетов, умноженной на вероятность их прибытия, т.е. на e-(t+T) . Используем единичную функцию H(T- t)

(которая равна единице для положительных значений аргумента и равна нулю для отрицательных; ее производная является дельта-функцией) и дельта-функцию d(T-t), чтобы представить это распределение в виде Теперь, используя интегральное уравнение Линдли, можно получить распределение времени ожидания. Путем детального анализа Пирси находит выражение для распределения в промежутке времени t, mT < t < (m+1)T: откуда после интегрирования