Теории управления — страница 10

  • Просмотров 6782
  • Скачиваний 541
  • Размер файла 265
    Кб

фоне шумов Одномерные динамические системы и фильтр Калмана (1) ; Шумы - называются шумами наблюдения (для активных по- мех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших квадратов. Задача фильрации требует уменьшить Вводим эмпирический риск : (2) - Это есть классическая запись метода наименьших квадра- тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется минимизировать риск, а

следовательно уменьшить влияние шумов. Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда невозможно было бы записать риск так выбрать Эти будем обозначать : Она получается путем дифференцирования , i=1,2...n Проделав математические операции получаем одномерный фильтр Калмана. (3) ; n=1,2... Комментарий к формуле (3) : Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шу- мы гауссовские, то этот фильтр является оптимальным. (4) n ® ¥ Т.е.

среднеквадратическая ошибка будет минимизирована. Если шумы не являются гауссовскими, то такая оценка является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выпол- няется когда n ® ¥ . Формула (4) является критерием минимума среднеквадрати- ческой ошибки. Фильтр Калмана дает оценку процесса истинного процесса для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4), т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Замечание 1 :

Оптимальность означает, что не существует другого фильтра, который мог бы дать такие же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные фильтры дают большую ошибку) Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает сигнал) Для согласованного фильтра все

равно какая форма сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал, что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаруже- ния сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов. Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной области, а не в частотной, как фильтр Вин- нера. Фильтр Виннера - реализован в частотной области. (5) K(w) - оптимальная функция передачи, которая мини- мизирует среднеквадратическую ошибку. y(t)

Оценка оптимальна. Она минимизирует СКО. - энергетический спектр (распределение энергии случайного процесса). - энергетический спектр помехи. Фильтр Калмана и Виннера дают - одинаковое качество фильтрации, однако фильтр Калмана проще ре- ализуется на ЭВМ. Поэтому его и АЧХ (пунктир) используют. - режекция помехи Анализ фильтра Калмана Фильтр Калмана ; x(t)- ненаблюдаемый случайный процесс y(t)- наблюдаемый случайный процесс y(t) На