Теорема Безу — страница 5

  • Просмотров 8384
  • Скачиваний 297
  • Размер файла 24
    Кб

члена число 1 является корнем данного многочлена P(x) , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу P(x) делится на (x – 1) без остатка : _x4 + 4x2 – 5 x – 1 x4 – x3 x3 + x2 + 5x + 5 _x3 + 4x2 – 5 x3 – x2 _5x2 – 5 5x2 – 5x _5x – 5 5x – 5 0 P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5 , значит P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5). Среди делителей свободного члена многочлена x3 + x2 + 5x + 5 x = -1 является его корнем , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу x3 + x2 + 5x + 5 делится на (x + 1) без остатка : _x3 + x2 +5x + 5 x + 1 x3 + x2 x2 +5 _5x

+ 5 5x + 5 0 (x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5 , значит x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5). Отсюда P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) . По следствию 7 (x2 + 5) на множители не раскладывается , т.к. действительных корней не имеет , поэтому P(x) далее на множители не раскладывается . Ответ : x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5) . Пример 7. Разложить на множители многочлен P(x) = x4 + 324 . P(x) корней не имеет , т.к. x4 не может быть равен -324 , значит , по следствию 7 P(x) на множители не раскладывается . Ответ : многочлен на

множители не раскладывается . Пример 8. Какую кратность имеет корень 2 для многочлена P(x) = x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 . Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)k , но не делится на (x – a)k+1 , то говорят , что число a является корнем кратности k для P(x). _x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 x – 2 x5 - 2x4 x4 – 3x3 + x2 + 4 _-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 -3x4 + 6x3 _x3 – 2x2 + 4x – 8 x3 – 2x2 _4x – 8 4x – 8 0 _x4 – 3x3 + x2 + 4 x – 2 x4 – 2x3 x3 – x2 – x – 2 _-x3 + x2 + 4 -x3 +2x2 _-x2 + 4 -x2 + 2x _-2x + 4 -2x + 4 0 _ x3 – x2 – x – 2 x – 2 x3 –

2x2 x2 + x + 1 _x2 – x – 2 x2 – 2x _x – 2 x – 2 0 x2 + x + 1 на x – 2 не делится , т.к. R=22 + 2 + 1= =7. Значит , P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1 , т.е. корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x) . Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x) . Пример 9. Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 . По следствию 3 , если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на (x – 4)2(x + 2) , значит P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) , т.е. P(x) = (x – 4)2(x +

2)Q(x) = = (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) = = (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) = = (x3 – 6x2 + 32)Q(x). (x3 – 6x2 + 32) - кубический многочлен , но по условию P(x) – также кубический многочлен, следовательно , Q(x) – некоторое действительное число . Пусть Q(x) = 1 , тогда P(x) = x3 – 6x2 + 32 . Ответ: x3 – 6x2 + 32 . Пример 10. Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P(x) = x5 + ax2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два . Если -2 – корень многочлена P(x) кратности два , то по следствию 3 P(x) делится

на (x + 2)2 без остатка (R = 0) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 _x5 + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4 x5 + 4x4 + 4x3 x3 – 4x2 + 12x – (a + 32) _-4x4–4x3–ax2+bx+1 -4x4 – 16x3 – 16x2 _12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1 12x3 +48x2 + 48x _-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1 -(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32) (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 = = (4a +b + 80)x + 4a + 129 Но R = 0 , значит (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 при любых x . Это возможно при условии , что 4a +b + 80 = 0 , 4a + 129 = 0 Решим систему двух уравнений : 4a +b + 80 = 0 a = -32,25 4a + 129 = 0 b = 49 Ответ: a = -32,25 , b = 49 . Из рассмотренных примеров видно , что теорема