Теорема Безу — страница 4

  • Просмотров 8380
  • Скачиваний 297
  • Размер файла 24
    Кб

разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать . 4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка . Пусть P(x) = x2л+1 , P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 , тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней . По следствию 5 P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)= = (x + a)Q(x), а это значит , что (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) , т.е. сумма одинаковых нечётных

натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать . Итак , (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k. 5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится . Пусть P(x) = x2k + a2k – сумма одинаковых чётных степеней . По теореме Безу при делении x2k + a2k на x + a = x – (-a) остаток равен R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k. Т. к. остаток при делении не равен 0 , то сумма одинаковых чётных натуральных степеней

на сумму их оснований не делится, что и требовалось доказать. Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач . Пример 1. Найти остаток от деления многочлена x3 – 3x2 + 6x – 5 на двучлен x – 2 . По теореме Безу R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 . Ответ: R = 3 . Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4 на двучлен 2x – 1 . Согласно следствию 1 из теоремы Безу R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4= = 2

– 8 + 2 + 18 + 4 =18 . Ответ: R = 18 . Пример 3. При каком значении a многочлен x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4 делится без остатка на двучлен x – 2 ? По теореме Безу R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16. Но по условию R = 0 , значит 8a + 16 = 0 , отсюда a = -2 . Ответ: a = -2 . Пример 4. При каких значениях a и b многочлен ax3 + bx2 – 73x + 102 делится на трёхчлен x2 – 5x + 6 без остатка ? Разложим делитель на множители : x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) . Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен

делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что по теореме Безу R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 = = 8a + 4b – 44 = 0 R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 = = 27a +9b -117 =0 Решим систему уравнений : 8a + 4b – 44 = 0 27a + 9b – 117 = 0 2a + b = 11 3a + b = 13 Отсюда получаем : a = 2 , b = 7 . Ответ: a = 2 , b = 7 . Пример 5. При каких значениях a и b многочлен x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b делится без остатка на трёхчлен x2 – 2x + 1 ? Представим делитель так : x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 Данный многочлен делится на x – 1 без остатка , если по теореме Безу R1 =

P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0. Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 : _ x4 + ax3–9x2 + 11x–a –3 x – 1 x4 – x3 x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3) _(a + 1)x3 – 9x2 (a + 1)x3 – (a + 1)x2 _(a – 8)x2 + 11x (a – 8)x2 – (a –8)x _(a + 3)x – a – 3 (a + 3)x – a – 3 0 Частное x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3) делится на (x – 1) без остатка , откуда R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 = =3a – 3 = 0 . a + b + 3 = 0 3a – 3 = 0 a + b =-3 a = 1 Из системы : a = 1 , b = -4 Ответ: a = 1 , b = -4 . Пример 6. Разложить на множители многочлен P(x) = x4 + 4x2 – 5 . Среди делителей свободного