Теорема Безу — страница 3

  • Просмотров 8381
  • Скачиваний 297
  • Размер файла 24
    Кб

теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия . 1.Необходимость . Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2 P(x) делится на (x-a) без остатка . Таким образом делимость P(x) на (x-a) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) , т.к. является следствием из этого . 2.Достаточность . Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a), тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на

(x-a) , но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0 , а это означает , что a является корнем P(x) . Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) . Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и требовалось доказать . Следствие 7(авторское): Многочлен , не имеющийй действи- тельных корней , в разложении на множители

линейных множителей не содержит . Доказательство : Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a): P(x) = (x – a)Q(x), тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен , не имеющий действительных корней , в

разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать . На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения: 1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка : Пусть P(x) = xn , P(a) = an , тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней . По следствию 5 P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) , а это значит , что (xn–an)/(x–a)=Q(x), т.е. разность одинаковых

натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать . Итак (xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1. 2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка . Пусть P(x) = x2k , тогда P(a) = a2k . Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) – P(a) . P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a). По следствию 5 P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)= = (x + a)Q(x) а это значит , что x2k – a2k = (x + a)Q(x) или (x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) ,

т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать . Итак , (x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1. 3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится . Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных степеней . По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1 на x + a = x – (-a) остаток равен R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1 Т. к. остаток при делении не равен 0 , то