Тема 5: рекурсивные фильтры — страница 4

  • Просмотров 372
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 96
    Кб

расстоянии от нуля: Hп(z) = G(1-z)/(1-az), zp= 1/a. (5.2.2) Допустим, что полюс помещен в точке zp1= 1.01, при этом, а=0,99. Масштабный коэффициент G получим нормировкой H(z) к 1 на частоте Найквиста. Для приведенных условий G=0.995. Отсюда, при t=1: Hп(z) = 0,995(1-z)/(1-0.99z), yk = 0.995(xk-xk-1)+ 0.99yk-1. Рис. 5.2.3. Отображение нуля n1 и полюса р1 на z-плоскости и АЧХ фильтра для исключения постоянной составляющей приведены на рис.5.2.1. Коэффициент передачи сигнала на произвольной частоте

i равен отношению длин векторов Vn1(z) и Vp1(z) соответственно из нуля и полюса до точки z(i) на единичной окружности и близок к единице для всех частот, за исключением нулевой: |Hп(z)| = G Vn1(z)/Vp1(z). Фазочастотная характеристика фильтра приведена на рис. 5.2.3 и определяется разностью фазовых углов векторов Vn1(z) и Vp1(z): п() = n1-p1. Режекторный фильтр произвольной частоты. При проектировании на подавление любой другой частоты v нули и

полюсы располагаются на соответствующем радиусе z-плоскости. Радиальный угол направления на нуль и полюс определяются выражением: v = ·v/N. (5.22.3) Наличие двух знаков в выражении (5.2.3) отражает тот факт, что для получения вещественной функции фильтра нули и полюсы должны быть комплексно-сопряженными парами (их произведение дает вещественную функцию), т.е.: Hv(z) = G(z-zn)(z-zn*)/[(z-zp)(z-zp*)]. (5.2.4) Нули фильтра располагаются на

единичной окружности: zn = cos v + j sin v = Re zn + j Im zn. (5.2.5) Полюсы - на полярном радиусе R: zp = R·cos v + j R·sin v = Re zp + j Im zp. (5.2.6) Пример положения нулей (n2 и n2*) и полюсов (р2 и р2*) приведен на рис.5.2.1. Подставляя (5.2.5-5.2.6) в (5.2.4), получаем: Hv(z) =, (5.2.7) G = [1+(1+2Re zp)/R2] / (2+2Re zn). (5.2.8) При приведении уравнения (5.2.7) в типовую форму: Hv(z) =, (5.2.7') b0 = 1, b1 = -2·Re zn, b2 = 1. (5.2.9) a1 = - (2·Re zp)/R2, a2 = 1/R2. Соответственно, алгоритм вычислений: yk = G·(xk+b1·xk-1+xk-2) – a1·yk-1 – a2·yk-2. (5.2.10) В качестве

примера проведем расчет режекторного фильтра на сетевую частоту питания приборов fs = 50 Гц, которая очень часто попадает в измеренные данные. При шаге дискретизации данных t = 0.001 сек радиальный угол на нули и полюса фильтра в z-плоскости: fN = 1/2t = 500 Гц, ·fs/fN = 0.1π. Радиус полюса фильтра примем равным R = 1.01. Значения нуля и полюса: zn = cos  + j sin  = 0.951 + 0.309 j, zp = R·cos v + j R·sin v = 0.961 + 0.312 j. Рис. 5.2.4. Значение масштабного множителя G по

(5.2.8): G = 0.99. Значения коэффициентов передаточной функции: b1 = -2·Re zn = -1.902, a1 = - (2·Re zp)/R2 = -1.883, a2 = 1/R2 = 0.98. При подстановке коэффициентов в уравнение (5.2.7') и замене z = exp(-jω) может быть получена частотная передаточная функция фильтра, которая приведена на рис. 5.2.4: 0.99[1-1.902·exp(-jω)+exp(-2jω)] H() = ------------------------------------------------- 1-1.883·exp(-jω)+0.98·exp(-2jω) Алгоритм фильтра: yk = 0.99·(xk - 1.902·xk-1 + xk-2) + 1.883·yk-1 – 0.98·yk-2. На рис. 5.2.5 приведен модельный входной сигнал