Тема 3: весовые функции — страница 3

  • Просмотров 379
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 130
    Кб

коэффициентов bn, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(), то суммирование в (3.1.4) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (3.1.4) в сопоставлении с исходной функцией приведены на рис. 3.1.2. Они наглядно показывают сущность явления Гиббса. При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала

этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко. Рис. 3.1.2. Явление Гиббса. Параметры эффекта. Ряд (3.1.4) при усечении можно записать в следующем виде: GN() = [cos((2n+1)) d] = [cos((2n+1))] d. Сумма косинусного ряда равна sin[2(N+1)]/(2sin ). Отсюда: GN() = . (3.1.5) Для определения местоположения максимумов и минимумов осцилляций функции (3.1.5) приравняем к нулю ее первую производную (подинтегральную

функцию), при этом: k = k/(2(N+1)), k = 1,2,... Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции приходится на точки k=1 = /(2(N+1)), вторых (противоположных по полярности) - на точки k=2 = /(N+1). Период пульсаций равен 2k=1 = (N+1) = , т.е. интервалу дискретизации спектра при равном количестве отсчетов оператора фильтра и его спектра. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно

скачка. Соответственно, при скачке функции G() на произвольной частоте главного частотного диапазона значения k являются значениями k относительно частоты скачка. Амплитудные значения функции в точках 1 и 2 (при подстановках 1 и 2 верхним пределом в (3.1.5)) практически не зависят от количества членов ряда N и равны: GN(1)  0.5+0.09, GN(2)  0.5-0.05. Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает. Таким образом, для

усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна /(N+1), а по уровню исходных значений

функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)/(N+1). Это явление типично для всех функций с разрывом. Можно рассмотреть это явление и с других позиций. Как известно, произведение функций отображается в частотном представлении сверткой их фурье-образов. Отсюда: hn = h(n)·ПN(n)  H() * ПN() = HN(). (3.1.6) Правая часть выражения (3.1.6) и отражает математическую сущность явления Гиббса. Ограничение массива функции определенным