Тема 3: весовые функции — страница 2

  • Просмотров 377
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 130
    Кб

характеристика H() фильтра и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим даже только по значимым значениям. Усечение может рассматриваться, как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N+1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию: hn = h(n)·ПN(n), ПN(n) = 1 при |n|  N, ПN(n) = 0 при |n| > N. Функция

h(n) оператора фильтра, в пределе бесконечная, обуславливает определенную частотную передаточную характеристику фильтра H(). Полному оператору h(n) соответствует исходная частотная характеристика H(): H() =h(n) exp(-jn). (3.1.1) Сущность явления Гиббса. Функции во временном окне селекции ПN(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция, которая в определенной степени должна отличаться от функции H(Очевидно, что

при усечении оператора h(n), а значит и ряда Фурье (3.1.1), до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье: HN() =h(n) exp(-jn), (3.1.2) при этом сходимость суммы остающихся членов ряда HN() к исходной передаточной функции H() ухудшается и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в

передаточных функциях: - крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (3.1.2); - по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (3.1.1). Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса. Рассмотрим

явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции bn. Уравнение функции единичного скачка: G() = -0.5 при -0, (3.1.3) = 0.5 при 0  . Функция (3.1.3) имеет разрыв величиной 1 в точке = 0 и, в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра, в точках , 2 и т.д. Поскольку функция G()

является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда определяются выражением: bn = G() sin(n) d = sin(n) d. bn = 2/(n·), n- нечетное, bn = 0, n- четное. Рис. 3.1.1. Значения коэффициентов bn. Как видно на рис. 3.1.1, ряд коэффициентов bn затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G(): G() = (2/)[sin + (1/3)·sin 3+ (1/5)·sin 5+....]. G() = sin[(2n+1)]/(2n+1). (3.1.4) Если мы будем ограничивать количество