Тема 2: частотный анализ цифровых фильтров — страница 5

  • Просмотров 1259
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 179
    Кб

отклонения выходных сигналов от "чистой" гармоники fв, заданной на входе. Свидетельством этому служат последние строки таблицы 2.1.1, где приведены результаты математического моделирования фильтрации по данным условиям на выборке 10000 точек. На рис. 2.1.6 приведены результаты сопоставления расчетных  и модельных  значений данных коэффициентов. Эффект фильтрации можно видеть на рис. 2.1.7, где приведен пример

сигналов моделирования на ограниченном отрезке данных. Рис. 2.1.7. Сигналы на входе и выходе фильтра МНК 1-го порядка. Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2) рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t2. Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных t=1. Минимум суммы квадратов остаточных ошибок: (A,B,C) = [sn-(A+B·n+C·n2)]2. (2.1.4) Система уравнений

после дифференцирования выражения (2.1.4) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю: A1 + Bn + Сn2 =sn. An + Bn2 + Сn3 =n·sn. An2 + Bn3 + Сn4 =n2·sn. При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем: A = {n4sn -n2n2sn} / {1n4 - [n2]2}. (2.1.5) При развертывании выражения (2.1.5) для 5-ти точечного НЦФ: yo = (17sn - 5n2sn) /35 =

(-3·s-2+12·s-1+17·so+12·s1-3·s2) /35. (2.1.6) Импульсная реакция: hn = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}. Передаточная функция фильтра: H(z)= (-3z-2+12z-1+17+12z1-3z2)/35. (2.1.7) Рис. 2.1.8. Сглаживающие фильтры МНК. Аналогичным образом выражение (2.1.5) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра: 3hn = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}. 4hn = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}. 5hn={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}. Подставляя значение z = exp(-j) в (2.1.7) или непосредственно в (2.1.6) сигнал sn = exp(jn) и объединяя комплексно

сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка: H() = (17+24 cos(-6 cos(2))/35. Вывод формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК предлагается для самостоятельной работы. Рис. 2.1.9. Рис. 2.1.10. Вид частотных характеристик фильтров при N=3 и N=5 приводится на рис. 2.1.8. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение

степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 2.1.9. Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. На