Тема 2: частотный анализ цифровых фильтров — страница 3

  • Просмотров 1258
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 179
    Кб

H()exp(jk). Подставляя выражения входного и выходного сигналов в уравнение (2.1.1), получаем: H() exp(jk) = 0.2exp(j(k-n))= 0.2 exp(jk) exp(-jn). Отсюда, выражение для передаточной функции: H() = 0.2exp(-jn) = 0.2[exp(2j)+exp(j)+1+exp(-j)+exp(-2j)], что полностью идентично выражению (2.1.2). Следует запомнить: если оператор фильтра известен, то для получения его частотной характеристики достаточно подставить сигнал exp(jn) непосредственно в линейное уравнение

фильтра. Тем самым выполняются сразу 2 операции: производится z- преобразование h(n) и подставляется z = exp(-jn), т.е. осуществляется трансформация h(n)→ h(z) → H(). Так как импульсная реакция фильтра МНК симметрична (функция h(n) четная), частотное представление передаточной функции должно быть вещественным, в чем нетрудно убедиться, объединив комплексно сопряженные члены выражения (2.1.2): H() = 0.2(1+2 cos +2 cos 2). Альтернативное

представление передаточной функции H() для фильтра с произвольным количеством коэффициентов 2N+1 нам достаточно хорошо известно, как нормированный фурье-образ прямоугольной функции, каковой по существу и является селектирующее окно фильтра (2.1.1): H() = sin((N+1/2))/[(N+1/2)] = sinc((N+1/2)). (2.1.3) Рис. 2.1.2. Сглаживающие фильтры МНК. Графики передаточных функций (2.1.3) приведены на рисунке 2.1.2. По графикам можно видеть коэффициент передачи

сигнала с входа на выход фильтра на любой частоте. Без ослабления (с коэффициентом передачи 1) сглаживающим фильтром пропускается (и должен пропускаться по физическому смыслу сглаживания данных) только сигнал постоянного уровня (нулевой частоты). Этим же определяется и тот фактор (который стоит запомнить), что сумма коэффициентов сглаживающего НЦФ всегда должна быть равна 1 (отсчет ненормированного дискретного

фурье-преобразования на частоте  = 0 равен сумме значений входной функции). Чем больше число коэффициентов фильтра (шире окно фильтра), тем уже полоса пропускания низких частот. Подавление высоких частот довольно неравномерное, с осцилляциями передаточной функции относительно нуля. На рис. 2.1.3 приведен пример фильтрации случайного сигнала (шума) фильтрами с различным размером окна. Рис. 2.1.3. Фильтрация шумов фильтрами МНК 1-го

порядка. Частотное представление передаточных функций позволяет наглядно видеть особенности фильтров и целенаправленно улучшать их характеристики. Так, если в рассмотренном нами фильтре с однородной импульсной реакцией hn = 1/(2N+1) уменьшить два крайних члена в 2 раза и заново нормировать к сумме  hn = 1, то частотные характеристики фильтра заметно улучшаются. Для нахождения передаточной функции модифицированного фильтра снимем