Тема 11. Адаптивная фильтрация цифровых данных пусть они постараются подчинить себе обстоятельства, а не подчиняются им сами — страница 9

обязательно присутствие полезной информации, а, следовательно, и суще­ствование, как минимум, определенных границ распределения Р(х) от хmin > 0 до xmax << , и среднего значения по пространству измерений. При этом из выражения (11.2.7) следует, что наиболее вероятное значение za, "априорное" для отсчетов z=n в потоке n по измерениям в потоке m (отсчетам М), должно быть равно: za = (M+1)  М. (11.2.8) При статистической независимости

величин х и М относительная средняя квадратическая погрешность определения значений za по отсчетам в массиве М: za2 = M2 + x2. (11.2.9) Отсюда дисперсия распределения значений za: Dza = (DM+M2x2)2 = D(M) 2, (11.2.10) D(M) = DM+M2x2 = DM+Dxm , (11.2.11) DM = М+1  М, Dxm = M2x2, где значение дисперсии DM определяется статистикой отсчетов в массиве М при х = const, значение Dxm представляет собой дисперсию значений М за счет флюктуаций величины х, а сумма D(M) определяет

полную дисперсию отсчетов М. Влияние Р(х) на форму распределения РМ(z) сказывается в его "растягивании" по координате z относительно модального значения, при этом решение интеграла (11.2.7) в первом приближении может быть представлено в следующем виде: PM(z)  be-bz. (11.2.12) Для данного распределения: = za = ab, (11.2.13) Dza = ab2, (11.2.14) С учетом выражений (11.2.8) и (11.2.10): a = MDM(Dza2) = MDMD(M), (11.2.15) b = DM(Dza) = DМD(M). (11.2.16) Значение 'а' в выражении (11.2.15)

принимается целочисленным. Выражение (11.2.12) может быть принято для распределения (11.2.4) в качестве априорного распределения вероятностей Р(z), при этом: PN(z) = (b+1) e-z(b+1). (11.2.17) Отсюда, математическое ожидание и дисперсия z: z = (N+a)(b+1), (11.2.18) Dz = (N+a)(b+1)2. (11.2.19) C использованием выражений (11.2.15-16): z = N+(1-)M, (11.2.20) где  и (1-) – весовые коэффициенты доверия отсчетам N и M:  = D(M)(DN2+D(M)). (11.2.21) Дисперсия и относительная средняя квадратическая

погрешность отсчетов z: Dz = D(M), (11.2.22) z2 =1(N+MDMD(M)). (11.2.23) Эффективность метода. Сравнение выражений (11.2.20-23) и (11.2.5-6) позволяет дать оценку эффекта использования дополнительной информации из статистически независимого от N потока М (произвольная дополнительная информация). 1. При  const имеет место х2  0, Dxm  0 и дисперсия отсчетов в массиве М определяется только статистикой потока: D(M)  DM = M, z = (N+M) (+1), z2  1(N+M) < N2 = 1N, (11.2.24)  =

N2 z2 = [N+M2D(M)] N  1+MN, что соответствует определению z по двум независимым измерениям и эффект использования дополнительной информации максимален. Так, при M  N,   2 и погрешность измерений уменьшается в ~1.4 раза. 2. В общем случае Dxm  0, при этом D(M) > DМ и положительный эффект снижается. В пределе: x  , Dxm  , D(M)  ,   1, z  N, z  N и положительный эффект полностью вырождается. Во всех остальных случаях  > 1 и z <