Тема 11. Адаптивная фильтрация цифровых данных пусть они постараются подчинить себе обстоятельства, а не подчиняются им сами — страница 3

сигнал g(k). Сигнал x(k) какого-либо источника шума, коррелированный с g(k), который используется для формирования оценки сигнала ğ(k). Полезный сигнал оценивается по разности: š(k) = y(k) – ğ(k) = s(k) + g(k) – ğ(k). (11.1.1) Возводим уравнение в квадрат и получаем: š2(k) = s2(k) + (g(k) – ğ(k))2 + 2.s(k) (g(k) – ğ(k)). (11.1.2) Вычислим математическое ожидание левой и правой части этого уравнения: M[š2(k)] = M[s2(k)] + M[(g(k) – ğ(k))2] + 2M[s(k) (g(k) – ğ(k))]. (11.1.3) Последнее слагаемое в выражении

равно нулю, поскольку сигнал s(k) не коррелирует с сигналами g(k) и ğ(k). M[š2(k)] = M[s2(k)] + M[(g(k) – ğ(k))2]. (11.1.4) В этом выражении M[s2(k)] = W(s(k)) – мощность сигнала s(k), M[š2(k)] = W(š(k)) – оценка мощности сигнала s(k) и общая выходная мощность, M[(g(k) – ğ(k))2] = W(g) - остаточная мощность шума, который может содержаться в выходном сигнале. При настройке адаптивного фильтра к оптимальному положению минимизируется мощность остаточного шума, а, следовательно, и

мощность выходного сигнала: min W(š(k)) = W(s(k)) + min W(g). (11.1.5) На мощность полезного сигнала настройка не влияет, поскольку сигнал не коррелирован с шумом. Эффект минимизации общей выходной мощности будет выражаться в максимизации выходного отношения сигнал/шум. Если настройка фильтра обеспечивает равенство ğ(k) = g(k), то при этом š(k) = s(k). Если сигнал не содержит шума, адаптивный алгоритм должен устанавливать нулевые значения всем

коэффициентам цифрового фильтра. Рис. 11.1.2. Адаптивный фильтр Винера. Входной сигнал y(k) фильтра, приведенного на рис. 11.1.2, включает компоненту, коррелированную с со вторым сигналом x(k), и полезную компоненту, некоррелированную с x(k). Фильтр формирует из x(t) сигнал ğ(k) - оптимальную оценку той части у(k), которая коррелированна с x(k), и вычитает ее из сигнала y(k). Выходной сигнал: e(k) = y(k) - ğ(k) = y(k) - HT Xk = y(k) -h(n) x(k-n), где HT и Xk – векторы весовых

коэффициентов фильтра и его входного сигнала. Аналогично предыдущему методу, возводим в квадрат левую и правую части уравнения, находим математические ожидания обеих частей и получаем уравнение оптимизации  выходного сигнала:  2PTH + HTRH, (11.1.6) где 2 = M[y2(k)] – дисперсия y(k), P = M[y(k)Xk] – вектор взаимной корреляции, R = M[XkXkT] – автокорреляционная матрица. Рис. 11.1.3. В стационарной среде график зависимости  от коэффициентов H

представляет собой чашеобразную поверхность адаптации (рис. 11.1.3). Градиент поверхности: d / dH = -2P + 2RH. Каждому набору коэффициентов h(n) на этой поверхности соответствует определенная точка. В точке минимума градиент равен нулю и вектор весовых коэффициентов фильтра является оптимальным: Hopt = R-1P. (11.1.7) Эта формула называется уравнением Винера-Хопфа. Задачей алгоритма автоматической настройки является подбор таких весовых