Структура сходящихся последовательностей — страница 6

числовая последовательность и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений все не больше А, а бесконечное множество отношений все не меньше А. РЕШЕНИЕ: Имеем L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, … Будет Ln-nA; тогда Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA; Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA, u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А. ЗАДАЧА № 12 Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, …

предполагается лишь, что Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства Если А®¥, то также n®¥. РЕШЕНИЕ:   Пусть l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0. Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А. ЗАДАЧА № 13 Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет

условиям Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства Если А®0, то также n®0. РЕШЕНИЕ: Положим l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0. Тогда L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, … стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n. В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие.

Пусть Ls будет один из них. Тогда числа: все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.