Структура сходящихся последовательностей — страница 5

всюду плотно между их нижним и верхним пределами. РЕШЕНИЕ: Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности ЗАДАЧА № 5 Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1 £ v2 £ v3 … Совокупность предельных точек последовательности заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу). РЕШЕНИЕ: ЗАДАЧА № 6 Числовая последовательность, стремящаяся к РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших. ЗАДАЧА № 7 Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой. РЕШЕНИЕ: При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда

по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности. ЗАДАЧА № 8 Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … , ln-1. РЕШЕНИЕ: Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm; h>0. Согласно предположению в

рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого ln<h. Тогда: n>m; ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1. ЗАДАЧА № 9 Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и n превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,… ЗАДАЧА № 10 Пусть числовые последовательности l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0), s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …) обладают тем свойством, что Тогда существует бесконечно

много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, … lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1, РЕШЕНИЕ: Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут: Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными

выступающими членами, скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно: значит (*) отсюда заключаем, что Действительно, в противном случае l1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого h. Тогда: k>m; ЗАДАЧА № 11 Если