Структура сходящихся последовательностей — страница 4

выполнятся также неравенства xn-а £ yn-а £ zn-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству |yn-a| £ max {|xn-a|, |zn-a|}. Так как и e>0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n³N1 |xn-a|<e, а при n³N2 |zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана. Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в

соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. ПРИМЕРЫ 1.      Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число ne, что ne>для всех n³ne, а это означает, что 2.      Последовательность сходится и ЗАДАЧИ ЗАДАЧА № 1 Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет

условию (m, n = 1, 2, 3, … ), тогда последовательность должна либо расходиться к РЕШЕНИЕ: Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0, имеем: an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar, ЗАДАЧА № 2 Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию тогда существует

конечный предел причем (n = 1, 2, 3, … ). РЕШЕНИЕ: Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1 получаем: (*) Ряд сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом: |a1|+2-1+2-2+2-3+… запишем целое число n по двоичной системе: n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или 1) согласно предположению Применяя теорему (1) для данных: s0=0, s1= sm-1= sm= pn0=0, pn1=n, m-1= pn, m+1=0, …, заключаем, что ЗАДАЧА № 3 Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном

смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup. РЕШЕНИЕ: Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, … ограничены. Пусть целое положительное число, l>2 и Разобьем числовую прямую на l интервалов точками -¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥. Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d. Пусть, далее, sn1 (n1>N) лежит в первом

интервале и sn2 (n2> n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей». ЗАДАЧА № 4 Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат