Структура сходящихся последовательностей — страница 3

  • Просмотров 2256
  • Скачиваний 380
  • Размер файла 66
    Кб

при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность n} и {yn}. Докажем, что последовательность

бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+an, yn=b+bn, то Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана. Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого

номера, удовлетворяют неравентству xn³b (xn£b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b). Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство |xn-a|<b-a. Это неравенство

эквивалентно -(b-a)<xn-a<b-a Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема доказана. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная

с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте. Это выполняется, так как а£xn£b, то a£c£b. ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся

последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn£yn£zn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а. Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут