Структура сходящихся последовательностей — страница 2

последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда: xn=а+an, yn=b+bn, где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =an+bn. Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому

последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда: xn=а+an, yn=b+bn, где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b)

=an-bn. Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an,

yn=b+bn и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно, xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn. (в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn×yn-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn×yn} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема

доказана. ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность Доказательство: Пусть ¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство: |yn-b|<e или |yn-b|< из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |yn|>³N имеем ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}