Структура аффинного пространства над телом

  • Просмотров 1805
  • Скачиваний 162
  • Размер файла 874
    Кб

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT SEQ MTSec 1 h * MERGEFORMAT Структура аффинного пространства над телом 1.   Введение Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя,

когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве. Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем Определение 1.1. Пусть Говорят, что действует слева на множестве удовлетворяет условиям и (1) Аналогично говорят, что действует на справа, если определено отображение удовлетворяет условиям и (1/) Соотношения (1) (соответственно (1/)) показывают, что биекции на (соответственно Например, любая группа действует

сама на себе слева левыми сдвигами: и справа правыми сдвигами: Группа действует на себе слева также внутренними автоморфизмами: Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева. Понятно, что для коммутативной группы Определение 1.2. Пусть группа действует слева на множестве с законом действия действует на транзитивно, если для любой пары элементов существует хотя бы один

элемент просто транзитивно, если этот элемент всегда единственный. Пример. Линейная группа автоморфизмов действует транзитивно на Определение 1.3. Пусть группа действует слева на множестве Стабилизатором подмножества множества называется множество Непосредственно ясно, что состоит из одного элемента группой изотропии элемента Замечание. Стабилизатор является пересечением двух множеств и действует на себе трансляциями и

не является подгруппой, а Определение 1.4. Пусть орбитой элемента называется образ при отображении Если действует на транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с Замечание. На отношение эквивалентности, полагая пространством орбит. Однородные пространства Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой транзитивное действие группы Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.