Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика) — страница 20

  • Просмотров 1030
  • Скачиваний 7
  • Размер файла 155
    Кб

этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многих монографиях по математической и прикладной статистике (см., например, [8, 9, 13]). Однако в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей критерия Вилкоксона. Так, одни полагают, что с его помощью можно обнаружить любое различие между функциями распределения F(x) и G(x). По мнению других, этот критерий нацелен на проверку равенства

медиан распределений, соответствующих выборкам. И то, и другое, строго говоря, неверно. Это будет ясно из дальнейшего изложения. Введем некоторые обозначения. Пусть F-1(t) - функция, обратная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0;1]. Положим L(t) = G(F-1(t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает, то F-1(t) и L(t) обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина a = P(X< Y) . Как нетрудно

показать, Введем также параметры Тогда математические ожидания и дисперсии статистик Вилкоксона и Манна-Уитни согласно [13, с.160] выражаются через введенные величины: М(U) = mna , М(S) = mn + m(m+1)/2 - М(U) = mn(1- a) + m(m+1)/2, D(S) = D(U) = mn [ (n - 1) b2 + (m - 1) g2 + a(1 -a) ] . (1) Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными (см., например, [13, гл.5 и 6]) с параметрами, задаваемыми

формулами (1) . Если выборки полностью однородны, т.е. их функции распределения совпадают, справедлива гипотеза H0: F(x) = G(x) при всех x, (2) то L(t) = t и a= 1/2. Подставляя в формулы (1), получаем, что М(S) = m(m+n+1)/2, D(S) = mn(m+n+1)/ 12 (3) . Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона T = ( S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/ 12 ) - 1/2 (4) при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием

0 и дисперсией 1). Из асимптотической нормальности статистики Т следует, что правило принятия решения для критерия Вилкоксона выглядит так: если |T|<то гипотеза (2) однородности (тождества) функций распределений принимается на уровне значимости если же |T|>то гипотеза (2) однородности (тождества) функций распределений отклоняется на уровне значимости . В эконометрике наиболее часто применяется уровень значимости Тогда значение

модуля статистики Т Вилкоксона надо сравнивать с граничным значением Пример 1. Пусть даны две выборки. Первая содержит m= 12 элементов 17; 22; 3; 5; 15; 2; 0; 7; 13; 97; 66; 14. Вторая содержит n=14 элементов 47; 30; 2; 15; 1; 21; 25; 7; 44; 29; 33; 11; 6; 15. Проведем проверку однородности функций распределения двух выборок с помощью только что сформулированного правила принятия решений на основе критерия Вилкоксона. Первым шагом является построение общего