Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика) — страница 10

  • Просмотров 592
  • Скачиваний 7
  • Размер файла 155
    Кб

рассматриваемые задачи доверительного оценивания характеристик распределения являются непараметрическими. Существование моментов является скорее математическим ограничением, чем реальным, поскольку практически все реальные статистические данные финитны (ограничены сверху и снизу, например, шкалой прибора). В расчетах будут использоваться выборочное среднее арифметическое M = (X1 + X2 +… + X n ) / n, выборочная дисперсия S2 = { (X1 –

M)2 + (X2 – M)2 +… + (X n – M)2 } / (n-1) и некоторые другие выборочные характеристики, которые мы введем позже. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания. Точечной оценкой для математического ожидания в силу закона больших чисел является выборочное среднее арифметическое М. M – U(p) S / n1/2 , где: M – выборочное среднее арифметическое, p – доверительная вероятность (истинное значение математического ожидания находится между

нижней доверительной границей и верхней доверительной границей с вероятностью, равной доверительной); U(p) – число, заданное равенством Ф(U(p)) = (1+ p)/2, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Например, при p = 95% (т.е. при р = 0,95) имеем U(p) = 1,96. Функция U(p) имеется в большинстве литературных источников по теории вероятностей и математической статистике (см., например, [8]); S –

выборочное среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из описанной выше выборочной дисперсии). M + U(p) S / n1/2 . С(р) = [n/2 – U(p)n1/2 /2] , где [.] – знак целой части числа. Нижняя доверительная граница для медианы имеет вид Х (С(р)), где Х(i) – член вариационного ряда с номером i, построенного по исходной выборке (т.е. i-я порядковая статистика). Верхняя доверительная граница для медианы имеет вид Х (n + 1 - С(р)). d2 = (m 4 - ((n – 1) /n ) 4 S 4 ) / n , где m 4 -

выборочный четвертый центральный момент, т.е. m 4 = { (X1 – M) 4 + (X2 – M) 4 +… + (X n – M) 4 } / n . Íèæíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååò âèä S2 - U(p)d , где S2 – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше), d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше. S2 + U(p)d , где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше. При выводе приведенных соотношений

используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии, установленная, например, в [10, с.419]. Соответственно доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки. Отметим, что в случае нормального распределения