Статистические гипотезы — страница 5

  • Просмотров 1154
  • Скачиваний 13
  • Размер файла 228
    Кб

любые действительные значения, рис. 1.5. Рис. 1.5. Плотность нормального распределения Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины u имеет вид . Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u>=0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения [9, стр. 694] Ф(u)= 1– 0,5(1 + 0,196854u + 0,115194u2 + 0,000344u3 + 0,019527u4) – 4 Такая аппроксимация обеспечивает

абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u<0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения Ф(u) = 1 – Ф(– u). Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей (для u>0) , u > 0 Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения стандартизованной величины u соотношением Ф(u) =

0,5 + F(u). Распределение хи-квадрат Распределению хи-квадрат (c2-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин ui, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n>=k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы , x >= 0, где х=c2, Г(k/2) – гамма-функция. Число степеней свободы k определяет количество независимых

слагаемых в выражении для c2. Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k>2 – унимодальная, несимметричная, рис. 1.6. Рис. 1.6. Плотность распределения хи-квадрат Математическое ожидание и дисперсия величины c2 равны соответственно k и 2k . Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы,

подчиняется распределению Рэлея. С увеличением числа степеней свободы (k>30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение c2(k; a) » u1–a(k, 2k), где u1–a(k, 2k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов. Распределение Стьюдента Распределение Стьюдента (t-распределение,

предложено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшим научные труды под псевдонимом Student) характеризует распределение случайной величины где u0, u1, …, uk взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента статистический гипотеза математический ожидание Величина k