Соотношение интуитивного и логического в математике (философия) — страница 7

  • Просмотров 3293
  • Скачиваний 201
  • Размер файла 32
    Кб

построения на чисто логико-аксиоматической основе. В 1931 году австрийский математик Курт Гедель доказал неполноту достаточно богатых формальных систем, что и означало, что лейбницева программа полной формализации мышления невозможна. Иначе говоря, существуют предложения, которые формулируются в терминах данной теории, но недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории. Эти исследования наряду с исследованиями поляка

Тарского и голландца Чёрча определили современное состояние математической логики. На сегодняшний день ситуация с классической логикой повторила ситуацию с евклидовой геометрией. Созданы и развиваются интуиционистская и конструктивная логики, основанные на отбрасывании или замене классических аристотелевских законов логики. Ведутся исследования в области многозначных, релевантных и модальных логик. Итак, можно сказать,

что в ходе развития математики все большее внимание уделялось строгости логики. Надо сказать, что это не является какой-то особенностью именно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которые использовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можно увидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и

логическая последовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Был момент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, которая могла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание, что машина не может

заменить человека в этой области знаний (и, по-видимому, ни в какой другой). egin{center} {f О природе математического умозаключения} end{center} Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математика сводится к бесконечному повторению и тавтологии?

Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества, то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основе математики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом не сводится к закону противоречия. Получается, что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам