Соотношение интуитивного и логического в математике (философия) — страница 6

новых понятий еще можно было понять: то, что неясно сегодня, станет ясно завтра, когда соответствующая область получит должное развитие, когда там будет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий. Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий, и многие люди ей занимались, но решения не было. Может быть, что эта проблема устанавливала некий эталон для истолкования

тогдашнего состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще. Возможно, математика не является точным знанием. В свете этих вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной задачей, а стала фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых геометрий. Параллельно на основе нового взгляда на метематику развивались и другие области. Алгебра логики возникла в работах англичанина Джона Буля,

который предложил рассматривать логику как алгебру, где переменные принимают только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал, что есть некие общие принципы мышления, что дает основания для аналогий между логикой и алгеброй. Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того, булевозначные алгебры, как оказалось, являются моделями классической теории множеств. На этом подходе ныне базируется вся

электронно-вычислительная техника. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах математика Готлоба Фреге, который осуществил дедуктивно-аксиоматическое построение логики высказываний и логики предикатов. Он построил систему формализованной арифметики, тем самым пытаясь обосновать идею сводимости значительной части математики к чистой логике. Это направление получило название логицизм, который был развит в работе

"Принципы математики" англичанами Бертраном Расселом и Альфредом Уайтхедом. В этом же направлении работали гениальные математики Пеано (им создана знаменитая система аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции) и Гильберт, строго аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "Основания геометрии"(1889). Надо сказать, что она была

достаточно далека от той геометрии, которую до сих пор преподают в школах. Однако с углублением формализации математики начали натыкаться на различные парадоксы, связанные с определениями абстрактных понятий, из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств. Возникла ситуация, похожая на ситуацию с евклидовой геометрией. Опять еще более остро стали философские вопросы обоснования математики и возможности ее