Соотношение интуитивного и логического в математике (философия) — страница 5

геометрии был не просто математическим вопросом, а имел мировоззренческий, философский характер. У Канта, например, идея единственности геометрии была органичной частью его философской системы. Иначе говоря, в то время математики рассуждали так: геометрия Евклида является великолепно выстроенным зданием, правда, в нем есть некоторая неясность, связанная с 5 постулатом, однако, в конце концов, все выясниться и неясность будет

устранена. Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата, и сразу трое человек (Н. Лобачевский, Ф. Гаусс и Я. Больяи) решают этот кризис методом построения новой геометрии. Почему же именно в этот момент произошел перелом? Вряд ли можно предполагать, что одновременно появились три гения, которых не было на протяжении многих веков. Дело в том, что проблема пятого постулата предстала перед математиками в

новом свете, уже не как досадная неясность, а как проблема, порождающая ряд фундаментальных вопросов: как вообще должна быть построена математика? Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях? Является ли она достоверным знанием? Является ли она логически точным знанием? Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата, а были определены общим состоянием математики в тот исторический

момент. Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии. Наиболее разработана была геометрия, известны начала алгебры и тригонометрии. Но с XVII века математика начала бурно развиваться, и к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую систему знаний. Для нужд механики было создано и развивалось дифференциальное и интегральное исчисление; значительное развитие получила алгебра,

появилось понятие функции; появилась теория вероятностей и теория рядов. Математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. С этим развитием появилось множество новых понятий, которые математики не могли истолковать. Например, алгебра несла с собой понятие числа. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной степени ее объектами, но что это такое, никто толком не знал до XIX века. Не было

ответа даже на более общий вопрос --- что такое число? Что такое бесконечно малая величина, которая уже широко использовалась в дифференциальном и интегральном исчислениях? Как можно обосновать дифференцирование, интегрирование, суммирование рядов, то есть операции, требующие предельного перехода? Что представляет собой вероятность? В итоге именно в XIX веке сложилась кризисная ситуация в математике. Но трудности истолкований