Соотношение интуитивного и логического в математике (философия) — страница 4

пропуска логических звеньев. В "Рассуждении о методе" Декарт предлагает следующие правила познания: 1) допускать в качестве истины только такие утверждения, которые ясно и отчетливо представлены уму и не могут вызывать никаких сомнений; 2) расчленять сложные задачи на более простые и доступные для решения; 3) последовательно переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному; 4) не допускать пропуска

звеньев в цепи логических доказательств. Родоначальником современной математической логики явился Готфрид Лейбниц, развивший аристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных идеях. Именно он выдвинул идею создания алфавита мыслей, или универсального языка. Если создать систему знаков для высказываний, подобную системе цифр в арифметике, и создать некую формальную комбинаторику, которая может определять

истинность или ложность некоторой мысли или утверждения, то можно получить общий метод и с помощью формально логических законов получать все возможные истины или определять случаи, когда высказывание неизбежно окажется ложным. Противоположных взглядов на математику придерживался философ Иммануил Кант. Если, по Лейбницу, все математические науки можно воплотить в некотором универсальном логическом исчислении, то Кант

утверждал, что все математические положения могут доказываться только путем обращения к наглядному представлению, которое дается только априорными формами чувственности. Но в прошлом веке положение начало резко меняться. Начало этому положила геометрия Лобачевского, в которой только один постулат (аксиома) отличался от традиционной евклидовой геометрии. Эта геометрия уже не соответствовала привычным представлениям людей,

но в то же время была логически безупречна и непротиворечива. Дальнейшие работа немецкого математика Римана, создавшего систему различных геометрий, наиболее известна из которых сферическая геометрия Римана, итальянского математика Бельтрами показали, что геометрии можно строить на различных системах аксиом и получать при этом непротиворечивые теории. Математика перешла на новый уровень абстракции. Что же послужило

толчком для подобного события? Основу классической геометрии составляли пять постулатов Евклида, из которых первые четыре казались очевидными, и только пятый был достаточно сложным и казался более похожим на теорему. На протяжении почти двух тысячелетий многие математики пытались вывести его из других аксиом, но это не удавалось. Тем не менее, на геометрию смотрели как на идеал научного знания, и вопрос о единственности