Соотношение интуитивного и логического в математике (философия) — страница 10

в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения. Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имея простые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции. Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам, раскрывая соотношение этих элементов и выводя

отсюда отношение самих совокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенно справедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимость очевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования был полезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с

составляющими ее элементами. Например, для чего изучать многоугольники, с которыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобы ограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольников. Делается это для того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которые можно

применять затем в любом частном случае. Если же рассматривать многоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, то увидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или интуиции, или не удается вообще. Отсюда получается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можно сравнивать с аналогичными конструкциями того же родового понятия и когда есть возможность

доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этих свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться от частного к общему, а это делается с помощью математической индукции. egin{center} {f Два типа математического мышления} end{center} Если ознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуют два сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можно условно

называют геометрическим или европейским тип, а другой - алгебраическим или азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно, подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт, Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабов Аль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра