Шпаргалки по высшей математике (1 курс) — страница 7

  • Просмотров 11872
  • Скачиваний 620
  • Размер файла 30
    Кб

∂v/∂x=2x ∂z/∂x= e^(x+y2)*2u/(u2+v)+2x/(u2+v). Выражение полного дифференциала 1 порядк имеют тот же вид, являются ли u и v независимыми переменными от f независимых переменных (с формами дифференциала инварианта). Производная неявной функции Т. пусть непрерывная f у(х) задана неявно уравнением F(х,у)=0, где F, F‘х, F‘у непрерывные f в неd области Д содержащей Ÿ (х,у), координаты d удовлетворяют этому уравнению. Кроме того F‘у≠0. y`x=- F`x/F`y.

Частные производные различных порядков. Z=f(x;y)s ∂z/∂x=∂/∂x*(∂z/∂x); ∂2z/∂x∂y=∂/∂y*(∂z/∂x) ∂2z/∂y∂x=∂/∂x*(∂z/∂y); f=x2y+y3; ∂f/∂x =2xy ∂2f/∂x2=∂/∂x*(2xy)=2y; ∂f/∂y=x2+3y2 ∂2f/∂y2=6y; ∂2f/∂x∂y=∂/∂y*(2xy)=2x; ∂2f/∂y∂x=∂/∂x*(x2+3y2)=2. T. if f f(х,у) и ее частные производные f `x, f `y, f ``xy, f ``yx, определены и непрерывны в Ÿ и неd ее окрестности, то в этой Ÿ ∂2f/∂x∂y=∂2f/∂y∂x.

Производная по направлению. Проведем из Ÿ M вектор S{в} направляющая косинус d So{в}(cos a,λ,β). Рассмотрим на векторе S на расстоянии ΔS от его начала Ÿ М1(х+Δх,у+Δу, z+Δz). Пусть f u непрерывна и имеет непрерывные частные производные в Д. Δu=∂u/∂x*Δx+∂u/∂y*Δy+∂u/∂z*Δz+E1Δx+E2Δy+E3Δz{Ei-бмв}; Δu/ΔS=∂u/∂x*Δx/Δs+ ∂u/∂y* Δy/Δs+∂u/∂z*Δz/Δs+E1*Δx/Δs+E2*Δx/Δs+E3*Δx/Δs координаты вектора / на

длину Δx/ΔS=cos x; Δy/ΔS=cos β; Δz/ΔS= cos λ; Δu/ΔS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+ ∂z/∂x*cos λ+E1cos α+E2cos β+E3cos λ; {ΔSè0}lim Δu/ΔxS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cos λ=∂u/∂S{производная по направлению} Градиент. Gradu=∂u/∂x*i+ ∂u/∂y*j+∂u/∂z*k Т. Производная ∂u/∂S по направлению неd вектора S=проекции вектора-градиент u на вектор S. Д.рассмотрим единичный вектор S0; (gradu,

S0)=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cos λ=∂u/∂S=проекцииS0 gradu, if ввести угол меду векторами φ ∂u/∂S=|gradu|cos φ. Св-ва.:1)производная в даннойŸ по направлению S{в} имеет наиб значение, if по направлению вектора S совпад с направ grad. Это наибольш знач =|gradu |2)производная по направл ветора перпендик grad=0 Матрица. Матрицей размера тХп называют прямоугольную таблицу, содержащую т строк и п столбцов. Элементы таких таблиц

могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (т = п), то матрицу называют