Шпаргалки по высшей математике (1 курс) — страница 4

  • Просмотров 11870
  • Скачиваний 620
  • Размер файла 30
    Кб

касательной к оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в Ÿ х, if Δf предоставлена в виде Δf=АΔх+α(Δх)*Δх, где А-число, α(х)-бмв при Δхè0. Т. Дифференцируемость f в Ÿ эквивалентно существованию производной {Δxè0} lim Δf/Δx=lim (AΔx+α(Δx)Δx)/Δx=0(Δx)=lim (A+α(Δx))=A; Δf/Δx=f `(x)+α(Δx). Т. If дифференцируема в Ÿ, то она непрерывна в этой Ÿ. Д. f `(x)={Δxè0}lim Δf/Δx, Δf=f `(x)Δx+α(Δx)Δx, lim Δf=lim (f

`(x)Δx{бмв}+α(Δx)Δx{бмв})=0 обратное неверно. Основные Т о производных. Т. Производная Σ конечного числа f = Σих произведений, if последние сществуют. Д. f(x)= u(x)+v(x), f(x+Δx)=f(x)+Δf, u(x+Δx)=u(x)+Δu; v(x+Δx)=v(x)+Δv; Δf=Δu+Δv; f(x+Δx)-f(x)=u(x+Δx)+v(x+Δx)-u(x)-v(x); f `={Δxè0} lim Δf/Δx=lim (Δu+Δv)/Δx=lim Δu/Δx+lim Δv/Δx=u`+v`. Т. If f=uvèf `=u`v+v`u, if u` и v` существуют. F(x+Δx)=u(x+Δx)v(x+Δx)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x)v(x)+ u(x)Δv+Δuv(x)+ΔuΔv;

Δf=u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x); f `(x)={Δxè0}lim (u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x))/Δx=lim (u(x)Δv)/Δx + lim v(x)*Δu/Δx+lim Δv*Δu/Δx=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т.f= v(x)*u/v≠0 f `=(u`(x)-≠0 f `=(u`(x)-v`(x))/v2. Δf=u(Δx+x)/v(x+Δx) – u(x)/v(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=(Δu+u(x))/(Δv+v(x)) – u(x)/v(x)=(v(x)Δu-u(x)Δv))/((Δv-v(x))v(x)). F `={Δxè0}lim [(v(x)Δu-u(x)Δv)/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=lim [v(x)*Δu/Δx – u(x)*Δv/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=(vu`-uv`)/v2 Дифференциал. F у=f(х) наз дифференцируемой в Ÿ х0, if ее приращение Δу=f(х0+

Δх0)-f(х0)в этой Ÿ можно представить в виде Δу=А(х0)Δх-α(Δх), где А(х0) не зависит от Δх и α(Δх) f от Δх, такая что α(Δх)/Δхè0, при Δхè0. приращение f состоит из 2 частей: А(х0)Δх – главная часть приращения, линейно зависимая от приращение Δх аргумента, и α(Δх)-нелинейная f от аргумента Δх, d является бм высшего порядка малости по сравнению с Δх при Δхè0, т.е. α(Δх)=0(Δх). Для того чтобы f f(х)

была дифференцируемой в Ÿ х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой Ÿ, тогда А(х0)=f `(х0). Обозначается df(x0)=f `(x0)Δx. Дифференциал f у=f(х) обозначается dy. F`(x)=dy/dx, or y`=dy/dx. Производная и дифференциалы разл порядков. О. пусть f дифференцируемая на интервале (а;в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1 производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а;в), то ее производную наз 2 производной, или

производной 2 порядка f f(х) и обозначается f ``(x) or f(2)(x), fxx``(x), т.е. f ``(x)=(f`(x))`. Производная n-го порядка: f^(n)(x)=(f^(n-1)(х))`, if на интервале (а;в) существует дифференцируемая функция f^(n-1)(х). по определению полагают f(0)(х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физ смысл: if s=s(t)-закон прямолин движения маериальн Ÿ, то s``(t) есть ускорение этой Ÿ в момент времени t. Т. Ролля. If f f(х) непрерывна на отрезке [а;в] дифференцируется на интервале (а;в) и f(а)=f(в)=0,