Шпаргалки по ВЫШКЕ

  • Просмотров 2783
  • Скачиваний 453
  • Размер файла 317
    Кб

1 Основы фифференциального исчисления . Понятие производной. DX=X1-X – приращение аргумента. Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции. Пример: Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0. Геометрический смысл производной. Ку.к. – угловой коэф. касательной. Ксек – угловой коэф. секущей. Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение

производной в данной точке. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид: Физический смысл производной. S(t) – путь за данное время. DS(t) – приращение пути. DS(t)/ Dt –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке: произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией. Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и

непрерывна в этой точке. Доказательство: 2 Правила дифференцирования Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции. Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Доказательство: Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b]. g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого " X Î[a,b] f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)] y=sin x [-p/2, p/2], тогда x=arcsin y, yÎ[1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin

x=x Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 3 Таблица производных: Доказательство: Дифференциал функции. Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f(x) наз. f’(x)Dx=u обозначают df(x). Теорема об инвариантной форме первого дифференциала. df(x)=f’(x)dx Доказательство: 1). 2). 4 Производная высших порядков. Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка. Пример: Используя метод математической индукции несложно показать, что: 1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.: 2). 3). 4). 5). 6). Дифференцирование функций заданных параметрически. Пример 1: возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3 Пример 2: 5 Основные теоремы матим. анализа. 1. Теорема Ферма. Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке