Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 8

an+1/an<k+e{=q}<1Þ å(k=n0+1,+¥)ak –сх-ся Þ ån=1+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥ e>0 | k-e>1 Þ $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Þ ån=1+¥an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд åan>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход #18 {O} Знакопеременными рядами называют ån=1+¥(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд å(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n)

n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®¥)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S

{Док-ть самим} {Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю #19 Ряд ån=1¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ån=1+¥an -абс сх Þ ån=1+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и

"pÎZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e Þ по критерию Коши Þ ån=1+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ån=1+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ån=1+¥an и ån=1+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки

Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ån=1+¥an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд ån=1+¥an- сход при k<1 ряд ån=1+¥an-сх при k>1 ряд ån=1+¥an- расх {Т2} Если для посл-ности ånÖ|an|; k=limn®+¥ nÖ|an|; при k<1 ряд ån=1+¥an-сх при k>1 ряд ån=1+¥an- расх. #20{Ряды с комплексными

членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®¥znÞ "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e Þ по опр. limn®¥Xn=x0 а limn®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность