Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 7

  • Просмотров 8278
  • Скачиваний 633
  • Размер файла 94
    Кб

Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)an ó "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рÎ Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} å(n=1..¥)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 Þ 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Þ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) Þ

{S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k Þ Sn<S2kÞ ряд сход. #15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å+¥n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть åk=m+1+¥ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда å(1,+¥)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма åk=m+1+¥ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAnÞ $ limS®+¥Am+SÞ $limS®+¥A’S=lims®+¥Am+S-Am Þ åk=m+1+¥ak cx-cя; Пусть åk=m+1+¥ak сх-ся ;

Am+S=AS’+Am; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+¥A’SÞ$limn®+¥A’n=m Þ $limn®+¥A=limn®+¥An-n+Am Þ ån=1+¥an ряд сх. {Следствие} Если ряд å(1,+¥)an сх-ся и an=å(k=n+1,+¥)ak Þlimn®+¥an=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=limn®+¥An Þ A=An+anÞan=A-A1 Þ limn®+¥an=A-limn®+¥An=0 {Т} Если ряды å(n=1,+¥)an и å(n=1,+¥)bn сх-ся и l-число, то å(n=1,+¥)(an+bn) сх-ся и å(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=å(k=1,n)ak, Bn=åk=1nbk; A=limn®+¥An, B=limn®+¥Bn; $limn®+¥(An+Bn)=A+B, $limn®+¥lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая

частичная сумма ряда å(n=1,+¥)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. #16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда å(n=1..¥)an и å(n=1..¥)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no аn<bn те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход å(к=no+1..¥)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0 такое что Bn<M "n An<=Bn<=M => å(k=no+1..¥)ak сх-ся =>å(k=1..¥)ak сход {Предельный признак

сравнения}Если сущ предел lim(n®¥) an/bn =k то; 1).0<=k<+¥ из сход åbn следует сходимость åan; 2).0<k<=+¥ из расх åbn следует расходимость åan {док-во} если 0<=к<+¥ => e=1 $ no такое что при n>no an/bn<k+e =k+1 => an<(n+1)bn "n>no => из сх åbn следует сходимость åan => åaк сходится 0<к<=+¥ e=к/2 (к<+¥) и e=1 к=+¥ $ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+¥) an/bn>1; k=+¥ => при n>no аn>(k/2)bn (k<+¥) => из расход åbn =>åаn расх =>åак а>bn

(k=+¥) Þ Утв. #17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åan an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. å(n=1,+¥)qn-1 cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®¥)an¹0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+¥an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$ n0 | n>n0