Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 4

такая что "хÎ U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хÎU(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "хÎU(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"хÎU(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "хÎU(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что

"хÎU(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хÎU(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)£f(x)£Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 Þ $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 Þ A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 Þ A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)Þ "x 0<|x-a|<d Þ A-E<j(x)£f(x)£j(x)<A+EÞ |f(x)-A|<E #7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть

$limx®af(x)=A $limy®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)¹А тогда $limx®ag(f(x))=limy®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ limy®Ag(y)=B Þ $s>0 |"y , 0<|y-A|<s Þ|g(y)-B|<E т.к. $ limx®af(x)=A Þдля Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d Þ 0<|f(x)-A|<s Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |g(x)-B|<E $limx®ag(f(x))=B=limy®Ag(y) #8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если $ C>0 | |f(x)|£C(g(x)) "x Î E f(x)=O(1) на E Þ f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 | |f(x)|£C

"xÎE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 x²=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и

отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)¹0 (x¹a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 Þ $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)Þ f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 Þ f(x)/g(x)=1+E(x)

Þ limx®af(x)/g(x)=1 Þ f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)¹0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x®a №9{Непрерывность