Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 13

{}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+¥; limx®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k #34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+

f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2

;Pn(n)=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)²/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 Þrn(x)=o((x-x0)n),x®x0 #35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x²/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0,

f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þ l(1+x)=x-x²/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0 #36

Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) Þ Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þ f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0

(f’(x0)<=0); {}Пусть " xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)Þ f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þ f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b) (f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0) #37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ $ U(x0,d) | "