Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 12

равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) Þ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) xÎ(a,b) и F(a)=0=F(b) Þ по теореме Ролля $ сÎ(a,b) | F’(c)=0 Þ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 Теорема

Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой сÎ(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей

производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b)) #32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точка cÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)¹0, так как в противном случае,

по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))×(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cÎ(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))×g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы. #33(Правило

Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши.

f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)¹0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)Þ$ lÎ(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a Þ c®a Þ limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) limx®+¥f(x)=limx®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+¥) g’(x)¹0 ;4)$ limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 limx®a+¥f(x)/g(x)= limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k