Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ — страница 11

есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =åk=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!×(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = åk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. #28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0

t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)×t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)¹0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’

x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0×t’x|x=x0=y’’tt(t0)×x’t(t0)-y’t(t0)×xtt’’(t0)/(x’t(t0)) #29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0

получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. #30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0. Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f

непрерывна на [а, b], то существует точка x1Î [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2Î[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому

что по условию f'(x) существует для всех хÎ(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х. #31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется