Шпаргалка по высшей математике — страница 12

  • Просмотров 3389
  • Скачиваний 287
  • Размер файла 36
    Кб

m, n- координаты направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты `n. В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. `n(A,B,C)`q (l;m;n)Þ Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. `n *`q=0 ÞAl+Bm+Cn=0. 3)прямая и

плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. `n *`q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости: а)скалярное произведение`n *`q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке координат точки, лежащей на

прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенствоÞ Ax0+By0+Cz0+D=0 {x=x0+lt, {y=y0+mt, {z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой). 5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич.

ур-я к параметрическому: {x=x0+lt, {y=y0+mt, {z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой) { Ax+By+Cz+D=0. 16 (47). Кривые второго порядка. Окружность. Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел ¹0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки

(центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого определения : Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ= R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ =Ö (x-x0)2+(y-y0)2 = R ÞR2=(x-x0)2+(y-y0)2 -ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2++Cy2 =d-кривая второго порядка,

где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2+В2+С2¹0. x2+y2-2x0x-2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1ÞA=C¹0 (т.к. A2+B2+C2¹0, B=0). Получаем ур-е: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я на А¹0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем: (x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2-4AF)/4A2. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2+E2-4AF>0. При выполнении этих